张量表示法

取自：王洪伟《我所理解的流体力学（第2版）》

张量是一种包含标量和矢量的数学表示法。用3来表示张量在直角坐标系中的分量数，N为张量的阶数。标量是0阶张量，矢量是1阶张量我们这里讨论的是有9个分量的2阶张量。下面是一些最基本的表示法。

（1）用 $1,2,3$ 代表 3 个坐标, 则 $x_1, x_2, x_3$ 代表 $x, y, z ; u_1, u_2, u_3$ 代表 $u$, $v, w$ 。
(2) $a_i, a_k$ 这样的式子表示了一个矢量, 其中的 $i$ 和 $k$ 称为自由下标,分别取 $1,2,3$, 用分量形式表示如下:

$$
u_i=u_1 \vec{i}+u_2 \vec{j}+u_3 \vec{k}
$$

$$
\frac{\partial p}{\partial x_i}=\frac{\partial p}{\partial x_1} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial x_2} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial x_3} \vec{k}
$$

(3) 同一项中含有两个自由下标时, 则它们分别取 $1,2,3$, 于是这一项将包含 9 个分量, 成为一个二阶张量, 用矩阵表示如下:

$$
\tau_{i j}=\left[\begin{array}{lll}
\tau_{11} & \tau_{12} & \tau_{13} \\
\tau_{21} & \tau_{22} & \tau_{23} \\
\tau_{31} & \tau_{32} & \tau_{33}
\end{array}\right]
$$

$$
\frac{\partial u_i}{\partial x_k}=\left[\begin{array}{lll}
\partial u_1 / \partial x_1 & \partial u_1 / \partial x_2 & \partial u_1 / \partial x_3 \\
\partial u_2 / \partial x_1 & \partial u_2 / \partial x_2 & \partial u_2 / \partial x_3 \\
\partial u_3 / \partial x_1 & \partial u_3 / \partial x_2 & \partial u_3 / \partial x_3
\end{array}\right]
$$

(4) 同一项中如果有两个相同的下标, 则要从 1 到 3 求和, 有时这相当于两个矢量的点乘, 比如:

$$
u_i x_i=u_1 x_1+u_2 x_2+u_3 x_3
$$

$$
\frac{\partial u_k}{\partial x_k}=\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+\frac{\partial u_3}{\partial x_3}
$$

(5) 同一项中如果既有相同的下标, 也有不同的下标, 则要同时满足上面的（3）和（4），比如下面这个式子其实表示了一个矢量：

$$
\begin{aligned}
u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} & =\left(u_1 \frac{\partial u_1}{\partial x_1}+u_2 \frac{\partial u_1}{\partial x_2}+u_3 \frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) \vec{i} \\
& +\left(u_1 \frac{\partial u_2}{\partial x_1}+u_2 \frac{\partial u_2}{\partial x_2}+u_3 \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) \vec{j} \\
& +\left(u_1 \frac{\partial u_3}{\partial x_1}+u_2 \frac{\partial u_3}{\partial x_2}+u_3 \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right) \vec{k}
\end{aligned}
$$